PRML『パターン認識と機械学習』p126 演習2.5

PRMLの演習2.5(標準)
個人的解答

\Gamma(a) \Gamma(b) = \int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{a-1}dx \int_{0}^{\infty}e^{-y}y^{b-1}dy \\=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-x-y}x^{a-1}y^{b-1}dxdy \text{\dots (1)}

ここでxを固定して、t=y+xと置換するとdt=dyとなり、 x: 0 \to \inftyから t: 0 \to \inftyとなるから、
\text{(1)}=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-x-(t-x)}x^{a-1}(t-x)^{b-1}dtdx\\=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-t}x^{a-1}(t-x)^{b-1}dtdx \text{\dots (2)}

ここで、xとtの積分順序を交換し、tを固定してx=t\muと置換すると、dx=td\muとなる。
また x: 0 \to \inftyとなるとき、tは 0 \to \inftyの間をとる任意の変数と考えると、\mu: 0 \to 1ととれば、任意のxを表現できる。
よって、
(2)=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{1}e^{-t}(\mu t)^{a-1}(t-t\mu)^{b-1}td\mu dt \\=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{1}e^{-t}t^{a+b-1}\mu^{a-1}(1-\mu)^{b-1}d \mu dt \\= \int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{(a+b)-1}dt \int_{0}^{1}\mu^{a-1}(1-\mu)^{b-1}d\mu \\=\Gamma(a+b)\int_{0}^{1}\mu^{a-1}(1-\mu)^{b-1}d\mu

以上より、
\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}=\int_{0}^{1}\mu^{a-1}(1-\mu)^{b-1}d\mu
となる。

[追記]間違いや、よりより式の展開がある場合は指摘していただけると嬉しいです。