「スマリヤン決定風脳の論理パズル」-ゲーデルの定理と様相論理-11章 自分自身について推論する論理学者(その２)

整合
ある推論者が信じる、そして信じるであろうすべての命題の集合が整合である場合、
その推論者を整合である呼ぶ。

不整合
信念の集合が不整合な推論者は、不整合である。
任意の1型論者について、その人の信念の集合は論理的に閉じている。
以下の条件は同値である。
(1)彼は不整合である（彼は⊥信じている）
(2)彼はある命題pとその否定~pを信じている。
(3)彼はすべての命題を信じる。

異常
ある推論者がある命題pを信じて、pを信じないことを信じているとき
その人を異常であると呼ぶ。

問題6.
任意の３型推論者は(Bp&Bq)→B(p&q)を信じることを示せ。

[証明]
p→(q→(p&q))は恒真式であるから３型推論者はこれを信じる。
また、問題1(b)よりBp→(Bq→B(p&q))...(1)を信じる。
さらに、(X&Y)→ZとX→(Y→Z)は論理的に同値である。
したがって、(1)から(Bp&Bq)→B(p&q)を信じる。

問題7.
任意の３型推論者が命題(Bp&B(~p))→B⊥を信じることを示せ。

[証明]
推論者は全ての恒真式を信じるから、(p&~p)→⊥を信じる。
また推論者は規則的であるから、B(p&~p)→B⊥を信じる。
さらに、問題6より(Bp&Bq)→B(p&q)を３型推論者は信じるから、
Bp&B(~p)→B(p&~p)→B⊥より、Bp&B(~p)→B⊥を信じる。

問題8.
任意の異常で正常な１型推論者が必ず不整合になってしまうことを示せ。

[証明]
彼は正常であるのでpを信じれば、Bpを信じる。...(1)
また彼は異常であるので、~Bpも同時に信じる。....(2)
(1)と(2)は不整合である。

問題9.
ある４型の推論者がp≡Bqを信じているとする。このとき彼はp→Bpを
信じなければ成らないだろうか。

[解答]
p≡BqよりBq→pも信じている。
彼は規則的であるからBBq→Bpも信じている。
彼は４型推論者であるから、Bq→BBqも信じている。
したがって、Bq→BBq→Bpを信じるから、Bq→Bpを信じる。
p≡Bqを信じているから、p→Bpを信じる。

問題10.
４型の推論者が自分は４型であることを知っていることを証明せよ。

[証明]
４型の推論者の条件をその推論者自身が信じていることを示せばよい。
まず推論者の条件は以下のようなものであった。
(1a)すべての恒真式を信じている。
(1b)もしpとp→qを信じれば、qを信じる。
(2)(Bp&B(p→q))→Bqを信じる。
(3)もしpを信じるならば、Bpを信じる。
(4)Bp→BBpを信じる。

(1a)[証明]
任意の恒真式Aについて、彼は１型の推論者であるからAを信じる。
また、彼は正常であるからBAを信じる。
したがって、任意の恒真式AについてBAを信じる。

(1b)[証明]
４型の推論者の定義より、彼は(Bp&B(p→q))→Bqの形式であるすべての命題を
信じるから(1b)を信じる。

(2)[証明]
彼は(Bp&B(p→q))→Bqを信じている。
また彼は正常であるからB((Bp&B(p→q))→Bq)を信じる。

(3)[証明]
彼はBp→BBpであるすべての命題を信じているから、
(3)を信じている。

(4)[証明]
彼はBp→BBpを信じている。また彼は正常であるから、B(Bp→BBp)を信じる。

以上より、４型推論者は、この推論者を特徴づける全ての条件を知っている。

練習問題1.
[証明]

Bp→BBpを信じるから、
Bp&B(~Bp)→BBp&B(~Bp)は論理的導出される。...(1)
問題7.よりBBp&B(~Bp)→B⊥を信じる。...(2)
(1)と(2)よりBp&B(~Bp)→BBp&B(~Bp)→B⊥を信じる。
したがって、Bp&B(~Bp)→B⊥を信じる。

練習問題2.
すべての４型の推論者は、自分は規則的であることを知っていることを
証明せよ。
(B(p→q)→B(Bp→Bq)の形式すべての命題を信じることを示せばよい。)

[証明]
任意のp,qについて推論者は２型でもあるのでB(p→q)→(Bp→Bq)を信じる。
また推論者は、規則的であるので、BB(p→q)→B(Bp→Bq)を信じる。(1)
さらに、彼は正常であるのでB(p→q)→BB(p→q)を信じる。...(2)
(1)と(2)より、B(p→q)→BB(p→q)→B(Bp→Bq)を信じる。
したがって、B(p→q)→B(Bp→Bq)を信じることが示された。