「スマリヤンの決定不能の論理パズル」-ゲーデルの定理と様相論理-11章 自分自身について推論する論理学者

１型推論者
(1a)すべての恒真式を信じている。
(1b)もし彼がpとp→qを信じれば、qを信じる。

２型推論者
　１型推論者の能力とともに以下の能力を持っている。
　(2)(Bp&B(p→q))→Bpを信じる
　
３型推論者
２型推論者の能力とともに以下の能力を持っている。
(3)もし彼がpを信じるならば、Bpを信じる（このとき推論者は正常である）

４型推論者
(4)彼はBp→BBpを信じる。

p→qを信じるならばBp→Bqを信じる推論者は、規則的であるとする。

問題1.
任意の２型の推論者と任意の命題p, q, rに関して、次のことを示せ。
(a)彼はB(p→(q→r))→(Bp→(Bq→Br))を信じる。
(b)もし彼がB(p→(q→r))を信じるならば、彼はBp→(Bq→Br)を信じる。

(a)[証明]

２型推論者はBp&B(p→q))→Bpを信じる。
また、これはB(p→q)→(Bp→Bq)...(f)と論理的に同値である。
(1)のqを(q→r)と入れ替えると、
B(p→(q→r))→(Bp→B(q→r))...(1)が得られる。
ここで２型の推論者は、(f)を信じるから、B(q→r)→(Bq→Br)...(2)を信じる。
(1)(2)より２型推論者は、B(p→(q→r))→(Bp→(Bq→Br))を信じる。

(b)[証明]

推論者が、B(p→(q→r))を信じているとする。
(a)よりこの推論者はBp→(Bq→Br)を信じる。

問題2.
[証明]

3型推論者が、p→(q→r)を信じているとする。
すると、彼はB(p→(q→r))を信じる。
また、彼は、(b)より(Bp→(Bq→Br))を信じる。

問題3.
３型推論者は、規則的であることを証明せよ。

[証明]
３型推論者がp→qを信じるならば、彼はB(p→q)を信じる。
また、彼は２型推論者の性質であるB(p→q)→(Bp→Bq)を信じるから、
(Bp→Bq)を信じる。よって、３型推論者が規則的であることが示された。

問題4.
１型の規則的な推論者がp≡qを信じるならば、彼はBp≡Bqを信じる。

[証明]
p≡qを信じているので、p→qかつq→pを信じていることと論理的に同値である。
また、彼は規則的なので(Bp→Bq)かつ(Bq→Bp)を信じている。
これはBp≡Bqと論理的に同値である。
したがって、彼はBp≡Bqを信じる。

問題5.
１型の規則的な推論者が、Bqを信じるような命題qが一つでもあれば、
彼は正常であることを示せ。
[証明]

命題qを信じるならば、Bpも信じることを示せばよい。
ここでpを推論者が信じている任意の命題と定義する。
すると、p→(q→p)は恒真式であるから、推論者はこれを信じる。
また、彼は規則的であるから(Bq→Bp)も信じる。
彼はBqと(Bq→Bp)を信じているので、Bpを信じる。
したがって、推論者は正常となる。